已知<x+y+z>^2≥n<xy+yz+zx>,n能取的最大值为多少?

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx≥n(xy+yz+zx)
(x^2+y^2+z^2)≥(n-2)(xy+yz+zx)……（1）
因为x^2+y^2≥2xy
y^2+z^2≥2yz
z^2+x^2≥2zx
即2(x^2+y^2+z^2)≥2(xy+yz+zx)
(x^2+y^2+z^2)≥(xy+yz+zx)……（2）
由（1）（2）可知，要使（1）恒成立，只需使
(xy+yz+zx）≥（n-2)(xy+yz+zx)
xy+yz+zx=0时，等号恒成立，n可以取全体实数R
xy+yz+zx＞0时，1≥n-2，n最大取3
xy+yz+zx＜0时，1≤n-2，n最小取3
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所以本题至少规定，x，y，z为正数

n能取的最大值为3，因为（x+y+z)^2-3xy-3xz-3yz=(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2≥0